Raisonnements logiques
1 - Proposition vraie ou fausse
Une proposition est une phrase qui peut être vraie ou fausse.
Exemples:
"4 est un nombre pair" est une proposition vraie
"7 est un nombre pair" est une proposition fausse
"x = 2y" est vraie pour x = 4 et y = 2 mais fausse pour x = 5 et y = 1 (Ici la proposition dépend de différentes variables)
2 - Négation d'une proposition
La négation d'une proposition est la proposition affirmant le "contraire".
La négation d'une proposition A est fausse quand A est vraie (et inversement).
Exemple : La négation de "x > 3" est "x ≤ 3"
Remarque : Dans la notation ensembliste, la négation de A est associé au complémentaire de A.
3 - Le ET et le OU logiques
"A ET B" est vraie si A et B sont toutes les deux vraies.
D'un point de vue ensembliste, le connecteur ET correspond à l'intersection (notée ∩)
"x ∈ A ET x ∈ B" signifie "x ∈ A ∩ B"
"A OU B" est vraie quand au moins une deux propositions A est vraie (l'une ou l'autre, voire les deux).
D'un point de vue ensembliste, le connecteur OU correspond à la réunion (notée ∪)
"x ∈ A OU x ∈ B" signifie "x ∈ A ∪ B"
Remarque : Dans le langage courant, la signification de ET et OU est parfois différente qu'en mathématiques.
4 - Proposition conditionnelle (Implication)
C'est une phrase de la forme : " Si A alors B"
On peut la lire "A implique B" et la noter "A ⇒ B"
Remarque : une proposition conditionnelle peut-être vraie ou fausse.
"Si A alors B" est vraie, on est sûr que si A est vraie, B est forcément vraie.
"Si A alors B" est fausse, si A est fausse, on ne peut savoir si B est vraie ou fausse.
Pour démontrer qu'une proposition conditionnelle est vraie, il faut faire un enchainement d'implication dont on est certain de la véracité.
Pour démontrer qu'une proposition conditionnelle est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple.
Réciproque d'une proposition conditionnelle :
"Si A alors B" a pour réciproque "Si B alors A"
La proposition et sa réciproque peuvent être vraies ou fausses indépendamment.
Exemples:
La proposition "si 3x=6 alors x=2" est vraie et sa réciproque "si x=2 alors 3x=6" est également vraie.
La proposition "s'il pleut alors il y a des nuages" est vraie alors que sa réciproque "s'il y a des nuages alors il pleut" est fausse.
5 - Equivalence
A et B sont équivalentes lorsque A et B sont vraies en même temps et fausses en même temps.
"A équivaut à B" se note A ⇔ B.
On utilise aussi l'expression "si et seulement si"
"A si et seulement si B" est "Si A alors B" et "Si B alors A"
6 - Contraposée d'une proposition conditionnelle
La proposition "Si A alors B" a pour contraposée : "Si négation de B alors négation de A".
Une proposition et sa contraposée sont vraies en même temps et fausses en même temps.
On dit qu'elles sont équivalentes.
C'est une propriété intéressante : pour démontrer qu'une proposition conditionnelle est vraie, on peut démontrer que sa contraposée est vraie.
7 - Différents types de raisonnement
- Le raisonnement par contraposition (Vu au paragraphe 6)
- Le raisonnement par exemple ou par contre-exemple:
Pour démontrer "il existe un ..." , il suffit de trouver un exemple vérifiant la propriété.
Pour démontrer "pour tout..." , il faut envisager tous les cas. Produire des exemples n'est donc pas suffisant.
Pour démonter que "pour tout ..." est faux, il suffit de trouver un contre-exemple.
- Le raisonnement par disjonction des cas:
Pour démontrer certaines propriétés, on est parfois obligé de distinguer plusieurs cas, par exemple, traiter d'abord les nombres positifs, puis les nombres négatifs.
- Raisonnement par l'absurde:
Pour démontrer qu'une proposition est vraie, on montre qu'il est impossible que sa négation soit vraie.
Par exemple, pour montrer que ⅓ n'est pas un nombre décimal, on va vérifier qu'il est impossible que ⅓ soit un décimal (on suppose que que ⅓ est un décimal et on aboutit à une proposition impossible).
*******